USACO Silver 2021 Dec

Convoluted Intervals

Problem 1160

题目描述

理解题意：区间求和

条件 $a_i + a_j \le k \le b_i + b_j$ 实际上是在描述两个区间的和。

如果 $k$ 落在 和区间 内，则这对 $(i, j)$ 贡献 +1。

朴素思路 (Time Limit Exceeded)

for (int i = 0; i < N; i++) {
    for (int j = 0; j < N; j++) {
        int start = a[i] + a[j];
        int end = b[i] + b[j];
        // 在差分数组 [start, end] 区间 +1
    }
}
                    

关键观察

• 区间的端点值 $a_i, b_i$ 都在 $[0, M]$ 之间。
• 两数之和 $a_i + a_j$ 的范围是 $[0, 2M]$，即 $[0, 10000]$。
• 我们不需要关心具体的 $i, j$ 是谁，只需要知道：
  • 有多少个 $a$ 的值为 $x$？
  • 有多少个 $b$ 的值为 $y$？

优化策略：桶 (Buckets) & 卷积

1. 统计频率：
   使用数组 `cnta[v]` 记录起始点为 $v$ 的区间数量。
   使用数组 `cntb[v]` 记录结束点为 $v$ 的区间数量。
2. 枚举和 (卷积)：
   枚举所有可能的 $a$ 值 $i$ 和 $j$ (范围 $0 \sim M$)。
   新的起始点 $S = i + j$ 的出现次数为 `cnta[i] * cnta[j]`。
3. 差分数组：
   利用差分数组快速进行区间更新。

算法核心流程

代码逻辑详解

// 统计频率
for (int i = 0; i < n; i++) {
    scanf("%d", &a[i]);
    scanf("%d", &b[i]);
    cnta[a[i]]++; // 统计起始点出现次数
    cntb[b[i]]++; // 统计结束点出现次数
}

// 核心：O(M^2) 枚举所有可能的和
for (int i = 0; i <= 2*m; i++) // i 代表两数之和
    for (int j = 0; j <= i; j++) { // j 代表第一个数
        // j 和 i-j 是一对数。cnta[j]*cnta[i-j] 是这对数组合出现的次数
        // 如果 j 或 i-j 超过 M，数组值为0，不影响结果
        
        // 在和为 i 的位置开始，区间数增加
        diff[i] += cnta[j] * cnta[i-j]; 
        
        // 在和为 i 的位置结束(的下一位)，区间数减少
        // 注意：这里处理的是 End Sum
        diff[i+1] -= cntb[j] * cntb[i-j]; 
    }

// 前缀和还原答案
ll ans = 0;
for (int i = 0; i <= 2*m; i++) {
    ans += diff[i];
    printf("%lld\n", ans);
}
                    

复杂度分析

• 空间复杂度：
  • $O(N + M)$。我们需要存储 $a, b$ 数组以及频率数组 `cnt` (大小约 $10000$)。
• 时间复杂度：
  • 读取输入并统计频率：$O(N)$。
  • 枚举和计算差分：外层循环 $2M$，内层平均 $M$，总计约 $O(M^2)$。
  • 前缀和输出：$O(M)$。
  • 总复杂度：$O(N + M^2)$。
• 计算量：
  • $N = 2 \cdot 10^5$, $M = 5000$。
  • $M^2 \approx 2.5 \cdot 10^7$，远小于 $10^8$ (1秒限制)，可以通过。

完整参考代码 (AC)

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;

// 数据规模定义
int n, m;
int a[200005], b[200005];
ll cnta[10005], cntb[10005]; // 频率数组，大小 > 2*M
ll diff[10005];              // 差分数组

int main() {
    // 1. 输入与频率统计
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        scanf("%d", &b[i]);
        cnta[a[i]]++;
        cntb[b[i]]++;
    }

    // 2. 计算卷积与构建差分数组
    // 枚举所有可能的和 i (从 0 到 2M)
    for (int i = 0; i <= 2*m; i++) {
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            // 边界检查由数组大小和数据特性自然保证(越界值为0)
            // 但严谨来说，只有 j<=M 且 i-j<=M 时才有意义
            if (j <= m && (i-j) <= m) {
               // Start Sum 贡献 +
               diff[i] += cnta[j] * cnta[i-j];
               // End Sum 贡献 - (在 i+1 处)
               diff[i+1] -= cntb[j] * cntb[i-j];
            }
        }
    }

    // 3. 前缀和计算最终答案并输出
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i <= 2*m; i++) {
        ans += diff[i];
        printf("%lld\n", ans);
    }

    return 0;
}
                    

总结